Distancia ortodromica y distancia loxodromica: calculo de la economia

Decíamos cuando introducíamos la teoría de la ortodromica, que su máximo beneficio era reducir las millas navegadas en largas distancias. Al navegar por circulo maximo, existe una gran diferencia en millas (y por tanto en consumo y en tiempo) contra la navegacion loxodromica o por estima.

A veces, nos preguntan eso en los problemas, ¿cual es la economía del viaje?, o lo que es lo mismo, cual es la diferencia en millas entre navegar por circulo maximo (ortodromica) y navegar por estima (loxodromica).

El calculo es sencillo. Por una parte calcularemos la distancia ortodromica, por otro la loxodromica, y haremos la diferencia. Vamos a recordar las formulas:

DISTANCIA ORTODROMICA

cos D = sen l * sen l' + cos l * cos l' * cos ΔL

DISTANCIA LOXODROMICA

Dist.loxodromica = Δl * sec Rlox, donde , tg Rlox = Δl / Δla

o tambien, Dist.loxodromica = ΔL * cos lm

donde:

D es distancia ortodromica

Dist.lox es distancia loxodromica

l es la latitud de salida

l' es la latitud de llegada

ΔL es el incremento en Longitud

Δl es el incremento en latitud

Rlox es el rumbo loxodromico

Δla es el incremento en latitudes aumentadas

lm es la latitud media

De este modo: ECONOMÍA = D.ortodromica - D.loxodromica

Ortodrómicas resueltas - II

Vamos con la ortodromica que teniamos pendiente de corregir. Este es el enunciado.

1) Calcular el Ri

ΔL = desde 90º hasta 170º W, luego an angulo de 100º hacia el E

cotg Ri = cos l * [ (tg l / sen ΔL ) - ( tg l / tg ΔL ) ]

cotg Ri = cos l * [ p - p' ]

P = tg (- 56º30') / sen 100º = 1.53414 (-)

P´= tg (- 56º30') / tg 100º = 0.266401

cotg Ri = cos 56,5º * ( - 1.8 )

Ri = S 45º E

Como podemos ver observando las coordenas de salida y de llegada, la latitud de ambas es la misma, es decir, la ortodromica es simetrica. Esto indica que en Rf=Ri.

2) Calcular la Distancia

cos D = sen l * sen l ' + cos l * cos l´ * cos ΔL

cos D =0.642466349

Distancia ortodromica = 50.02º = 3001.44 millas

Ortodrómicas resueltas - I

Hemos colgado días atrás unos problemas de navegación ortodromica para que os entrenéis los que os presentáis a Capitán de Yate este mes de Mayo. ¿Que tal han ido? ¿Han sido fáciles?. Ciertamente, la navegacion ortodromica es sencilla. Vamos a ver como se resuelven, y empezaremos hoy por el ejercicio 1. Aquí están los enunciados

EJERCICIO 1)

CALCULO DEL Ri

cotg Ri = cos l * [ ( tg l´/ sen ΔL ) - ( tg l / tg ΔL ) ]

Tenemos que darnos cuenta de que el arco mas pequeño entre la Longitud de salida y la de llegada es atravesando el meridiano 180º, es decir "por detrás de Greenwich". Haciéndolo así, navegaremos desde la Longitud 124º36ºW hasta los 180º, es decir, unos 55,4º y luego, desde los 180º (meridiano inferior de Greenwich) hasta los 150º 24' E, es decir, 29,6º mas. De esta forma el incremento en Longitud sera 29,6 + 55,4, es decir, 85º de navegacion hacia el W.

cotg Ri = cos 62º * [ ( tg 50º/sen 85º) - (tg 62º / tg 85º ) ] =

cotg Ri = cos 62º * [ - 1,1963059 - 0,16454 ]

En la formula de la cotg del Ri, tenemos que poner los signos de los valores trigonométricos:

* tg 50º es negativa (porque la latitud de salida era SUR, y las coordenadas SUR las consideramos negativas)

* sen 85º es positivo

* tg 62º es positivo

* tg 85º es positivo

cotg Ri = cos 62º * ( - 1,3608481 )

Ri = - 57º 25' 34'', que al ser negativo expresaremos como SUR, y que debido al calculo del ΔL sabemos que es al Oeste, luego nuestro Ri sera: S 54,42º W

CALCULO DE LA DISTANCIA ORTODROMICA

cos D = ( sen l * sen l´) + (cos l * cos l´* cos ΔL )

cos D = ( sen 62º * sen (-50º) ) + ( cos 62º * cos (-50º) * cos 85º )

cos D = - 0.650076

Distancia ortodromica = 7832.84 millas

Problemas de Ortodromica (Tipo 1)

Ahora que ya sabeis resolver problemas de navegacion por circulo maximo en los que dando las coordenadas de salida y llegada os piden el Ri y la Distancia navegada, vamos a poner aqui algunos que iremos resolviendo poco a poco:

PROBLEMA 1.- Calcular Ri y Distancia ortodromica en la siguiente navegacion:

latitud de salida = 62º N

Longitud de salida = 124º36' W

latitud de llegada = 50º S

Longitud de llegada = 150º 24' E

PROBLEMA 2.- Calcular Ri y Distancia ortodromica en la siguiente navegacion:

latitud de salida = 56º30' S

Longitud de salida = 90ºE

latitud de llegada = 56º30' S

Longitud de llegada = 170º W

ORTODROMICA III: PROBLEMAS TIPO 1

Hemos visto en dos post anteriores conceptos sobre la navegacion ortodromica. Podeis ver los post aqui:

ORTODROMICA I

ORTODROMICA II

Ahora vamos a meternos con la resolucion de calculos de navegacion. En navegacion por circulo maximo, o navegacion ortodromica, no s podemos encontrar con dos tipos de problemas:

PROBLEMA TIPO 1: Dadas las coordenadas de dos puntos, calcular Ri y distancia navegada

PROBLEMA TIPO 2: Dadas las coordenas de un punto y la distancia navegada, obtener las coordenadas del punto de llegada.

Bueno pues vamos a meternos en este post con los problemas del primer tipo, es decir, con el caso en el que sabemos la latitud y longitud de salida (l y L respectivamente) y las de llegada (l´y L´respectivamente) y nos piden que calculemos el Ri (rumbo inicial) y la distancia navegada.

CALCULO DEL RUMBO INICIAL (Ri)

cotg Ri = cos l [ ( tg l' / sen ΔL ) - ( tg l / tg ΔL ) ]

CALCULO DE LA DISTANCIA NAVEGADA (D)

cos D = ( sel l * sen l´ ) + ( cos l * cos l´ * cos ΔL )

donde:

l es la latitud de salida

l´es la latitud de llegada

ΔL es el incremento en Longitud, o lo que es lo mismo, la Longitud de llegada menos la de salida, teneindo en cuenta el criterio de signos (Y recordamos que Longitudes W seran positivas y E negativas)

Ri es el rumbo de la ortodromica

D es la distancia navegada

Veamos un ejemplo:

coordenadas del punto de salida l=50º36'N / L=019º24'E

coordenadas del punto de llegada l´=60º18'N / L´=098º12'E

Calcularemos primero el Ri usando la formula que hemos visto mas arriba:

cotg Ri = cos l * [ ( tg l´/ sen Δl ) - ( tg l / tg Δl ) ]

ΔL = 98º12' - 19º24´= 78º 48´hacia el E pues vamos de una posicion E a una que esta aun mas al E

llamamos P a la operacion de --> tg l´/ sen ΔL = 1.787224037

llamamos P´a la operacion de --> tg l / tg ΔL = 0.241055636

Operamos P-P´--> 1.546168401

por ultimo, multiplicamos el resultado P-P´por el cos l, y obtenemos:

cotg Ri = 0.981400262, luego Ri = 45º32´

y para ponerle los indicadores del cuadrante, tendremos que fijarnos que de acuerdo a nuestras coordenadas de salida y llegada, hemos navegado hacia el norte y hacia el este, luego:

Ri = N 45,5º E

Ahora calcularemos la distancia navegada entre ambos puntos, mediante la formula vista mas arriba:

cos l = ( sel l * sen l´) + (cos l * cos l´* cos Δl )

Aqui hay que tener en cuenta el sigo que adoptan senos y cosenos en cada cuadrante. De esta forma, tendremos que:

sen l = sen (50º36´) es positivo

sen l´= sen (60º18´) es positivo

A=sen l * sen l´= 0.6712207 (positivo)

cos l = cos (50º36´) es positivo

cos l´= cos (60º18´) es positivo

cos ΔL = cos (78º48´) es positivo

B = cos l * cos l´* cos Δl = 0.0261305 (positivo)

cos D = A + B = 0.6973512, luego,

D = 45,78º , que multiplicandolo por 60 (que son las millas que tiene un grado) nos dara que la distancia ortodromica recorrida es de 2747,10 millas.

ORTODROMICA II: La ecuacion de la ortodromica

Hace tiempo vimos en un primer post una introducción a lo que era "Navegacion por circulo máximo" o navegacion ortodromica. Aquí esta el post en cuestión:

navegacion ortodromica (post I)

Ahora vamos a completarlo algo mas, y avanzando en la definición, vamos a ver lo que es la Ecuación de la Ortodromica.

La Ecuación de la ortodromica queda establecida relacionando las constantes de la misma (alfa y beta), que la definen, con las coordenadas de un punto cualquiera de ella. Para ello vamos a definir algunos de los símbolos que aparecen en la figura:

* α = Longitud del punto de corte de la ortodromica con el Ecuador

* β = ángulo de inclinación de la ortodromica en el Ecuador.

* N y N' se denominan "nodos"

* V y V' se denominan "vertices", y son los puntos en los que la ortodromica alcanza su latitud máxima.

En la figura, tenemos que el punto "A" tendrá unas coordenadas (l y L). Si miramos el triángulo ANC, tendremos:

sen NC = tg CA * cotg (β), y si sustituimos tendremos que:

sen (L-α) = tg l * cotg (β) que tambien podemos expresar en la forma:

tg l = tg (β) * sen (L-α)

Esta es la que se conoce como "Ecuacion de la ortodromica" o del circulo máximo.

*CRITERIO DE SIGNOS.- latitudes Ny Longitudes W son positivas. E y S seran entonces negativas.

**ATENCIÓN AL SIGNO DE β.- El signo del ángulo β se considera como si en un principio, la ortodromica estuviera sobre el Ecuador. Al girar la ortodromica, si se hace en sentido horario, el ángulo resultante del giro, β, sera positivo, y si el giro de la ortodromica es antihorario, entonces β sera negativo. Podemos considerarlo también desde el punto de vista del Rumbo inicial, de tal forma que en el hemisferio norte, el Ri hacia el Este genera β positivos y en Ri al oeste, negativos. En el hemisferio sur, se cambia el criterio.

Navegacion Ortodromica (Capitanes de Yate)

Se llama navegacion ortodromica a la que efectua el barco siguiendo el arco de circulo maximo que une dos puntos. Se caracteriza por ser la distancia mas corta entre ambos. Es una navegacion indicada para travesias largas entre puntos de latitud grande y situados en paralelos proximos entre si. (En estos casos, es la navegacion mas economica)

Se llama Ri (rumbo inicial) al formado en cualquier puntos de la ortodromica por la misma linea ortodromica y el meridiano del lugar. Este angulo varia a lo largo de toda la ortodromica (es lo que la hace diferente de la loxodromica). De este modo, la ortodromica en la carta mercatoriana, queda representada como una linea curva, que tiene un punto de inflexion en las proximidades del ecuador. Para facilitar la navegacion ortodromica sobre cartas, se construye la representacion de cartas gnomonicas, en las que el circulo maximo queda representado por una recta.

Cuando se navega entre dos puntos proximos, la ortodromica presenta pocas o ninguna ventaja.